一。债券久期的含义及特性

(资料图)

(本文部分综合整理于网络并对其修改)

我们知道，债券价格变动六大定理研究了利率变动对不同期限、不同息票率和不同到期收益率的债券价格的影响。但是，六大定理假设期限、息票率和到期收益率这三个因素中仅有一个因素不同，与实际中各个因素都可能变动的情况不符。我们需要能够从期限、息票率、到期收益率等方面综合衡量利率变动对债券价格影响的量化分析工具，这就是本节课要讲的债券久期。

一、久期的含义

严格来说，久期是价格的利率弹性，是衡量债券价格利率敏感性的指标。对定期支付固定利息、到期按面值还本、没有附加选择权的普通附息债券来说，久期是债券的有效到期时间，是每一笔现金流支付时间的加权平均数，权重等于每一笔现金流现值占全部现金流现值总和的比例。

久期有时也称为麦考利久期，它的计算公式如下：

D:债券久期；Wt:t时期的权重

T:债券到期日；t:现金流的支付期

Ct:t时期产生的现金流；r:到期收益率

P0:债券价格

这个公式看起来很复杂，其实挺简单。你看，久期D就等于t乘以W.其中，t是债券支付每一笔现金流的时间，是以年为单位的数字。W是一个权重，是一个比例，这个比例的分子是每一笔现金流以r为折现率计算的现值，分母是所有现金流的现值总和。所有现金流的现值总和就是债券的理论价格或合理价格，公式中用P0表示。各个时期的权重相加等于1。

下面通过一道例题来熟悉下这个久期的计算公式。

例：假设票面价值为1000元的债券，期限为3年，每年付息一次，票面利率为8%，到期收益率为10%。问：该债券的久期是多少？

分析：该债券一共要支付三笔现金流：80,80和1080元，我们把这3笔现金流以10%的折现率求出现值，再把这三个现值相加，就得到债券价格P0，它等于950.25元。

然后，用每一笔现金流的支付时间t，依次是1、2、3，去乘以各自的权重，权重等于每一笔现金流的现值除以债券价格，最后求这三项乘积的总和就得出久期D，它等于2.78，单位是年。这个2.78年，它是该债券三笔现金流支付时间第1、第2、第3年的加权平均数，比该债券的名义期限3年要小一些，可称之为有效期限。

二、久期的特性

从计算公式中可看出，债券久期与期限、息票率、到期收益率等因素有关。我依据具体数字制作了几张图，请你观察这些图，来探究一下债券久期有哪些特性。

首先看下图(图3)。它的横轴是债券的到期期限，纵轴是债券久期。

图3:零息债和附息债的久期

中间这条红色的直线反映了零息债券的久期。下面那条绿色的线描述的是息票率为15%、到期收益率YTM也等于15%的债券的久期。

从这张图中，你能发现什么规律吗？

你看，红线倾斜45度，说明零息债券的久期与它的期限相等。这从久期计算公式也很容易推导出来，因为零息债券的现金流就只有期末到期的1笔现金流。

绿线始终落在红线的下方，表明附息债券的久期都小于它的期限，因为到期前的一切利息支付，都将缩短债券的加权平均时间。

另外，这两条线都向右上方延伸，表明期限越长，久期就越大。但从绿线的形状看，随着期限的不断增加，久期增加的幅度出现递减。就是说，附息债券的期限增加1年，但其久期增加却小于1年。

图4:不同息票率债券的久期

再看这张图(图4)，我又添加了一条蓝色的线，代表的债券息票率为3%，到期收益率YTM为15%。这张债券的到期收益率远远高于息票率，说明该债券的价格与面值相

比，是高还是低呢？

根据前面学过的知识，它的价格应该是大大低于面值，处于严重折价状态。

仔细观察这条蓝线的形状，我们刚才总结的“期限越长，久期就越大”这条规律是不是要修改一下？对于严重折价的债券，随着期限增加，久期开始是上升，后来会下降。

当然，这种情况比较少见。一般而言，我们还是可以说“期限越长，久期就越大”。再把蓝线和绿线做一个对比，这两张债券的YTM相同，但息票率不相等。显然，息票率高的债券，其久期更短。原因是，息票率越高，早期支付的现金流现值越大，占比权重越高，使得支付时间的加权平均数越低，即久期越短。

为了考察到期收益率对久期的影响，我再添加了一条紫色的线(见图5)，代表的债券息票率也是15%，但是到期收益率YTM只有6%。

图5:不同YTM债券的久期

对比紫线和绿线，你应该看出来了：到期收益率越低，久期越长。这是因为，到期收益率越低时，后期支付的现金流现值越大，占比权重越高，使得支付时间的加权平均数越大，即久期越长。

最后，我们来小结一下：

1.对普通附息债券来说，久期是每一笔现金流支付时间的加权平均数，权重等于每一笔现金流现值占全部现金流现值总和的比例。

2.零息债券的久期等于它的期限。

3.附息债券的久期小于它的期限。期限越长，久期就越大，但随着期限的不断增加，久期增加的幅度会递减。对于严重折价的债券，随着期限增加，久期会先上升后下降。

4.在其他因素不变时，久期与息票率、到期收益率成反比例关系。

二。债券价格变动近似计算

一、利用久期近似计算债券价格变动

我们知道，债券价格会受到利率变动的影响。期限越长，债券价格对利率变动的敏感性就越强。利用久期，可以量化分析利率变动对债券价格的影响程度。

1.计算公式

非常简单的一个公式。其中，Dm为修正久期，△r为到期收益率的变化量，它等于变化后的新的收益率减去原来的收益率，反映了到期收益率变化的绝对幅度。(△P)/P为债券价格的变动比率，是一个相对数。

这个公式怎么来的呢？可以根据债券理论价格计算公式，对利率r求导，然后等式两边同时除以价格P，整理后可得。

这个公式是什么含义呢？该公式表明，债券价格变动的百分比，等于修正久期与到期收益率变动绝对值的乘积。修正久期越大，利率变动对债券价格的影响程度就越大。

所以说，修正久期综合反映了债券利率变动风险的大小。公式中的负号，表明债券价格变动与利率变动的方向是相反的。

2.近似值与理论值的偏差

这个公式只是对债券价格受利率波动影响程度的一个近似计算。更准确的数值要用债券理论价格公式来计算。

那么这个近似值与理论值之间的差距有多大呢？让我们通过一个例题来说明。

例：假设票面价值为1000元的债券，期限为20年，每年付息一次，票面利率为3.5%，到期收益率为5%。

问：

(1)该债券的价格是多少元？修正久期是多少年？

(2)如果到期收益率分别上升、下降10个基点，该债券价格变化率的近似值和理论值各是多少？

(3)如果到期收益率的升降幅度扩大到100个基点，结果又是多少？

解：(1)计算债券价格、修正久期。

使用前面学过的公式，计算出债券价格为813.07元，久期为14.05年，修正久期为13.38年。因为期限有20年，计算量比较大，推荐使用EXCEL中的函数，比如：用PV

函数计算价格，用DURATION函数计算久期，用MDURATION函数计算修正久期。

(2)和(3)计算债券价格变化率的近似值和理论值。

近似值的计算公式，就是刚学的那个公式：

(△P)/P=-Dm×△r。

我们知道，收益率变动1个基点，等于0.01%。

所以上升10个基点时，△r=0.1%，下降10个基点时，△r=-0.1%。变动100个基点，△r就等于正负1%。

债券价格变化率的理论值要怎么计算呢？

按变化后的到期收益率，使用债券价格公式计算出新的价格，新的价格减去原来的价格，就是△P，再用△P除以原来的价格，就是债券价格变化率的理论值。为方便比较，把具体计算结果列在一个表格中(表1)。

表1.用久期估算债券价格的变化率

从表格中可以看到，当到期收益率由5%上升到5.10%，债券价格从813.07元下跌到802.28元，跌幅是1.33%，用久期估算的跌幅是1.34%，二者比较接近。当到期收益率下

降到4.90%时，用债券公式计算的价格涨幅是1.35%，与久期估算的1.34%也非常接近。

但是，当到期收益率的升降幅度达到1%时，估算值与理论值的差距就比较大了：估算的涨幅为13.38%，而理论值达到14.63%；跌幅的估算值是13.38%，而理论值只有12.28%。

此外，你有没有发现，表中的数字还有一个规律？

你看最后一行，用久期估算的涨幅数字与跌幅数字完全相同。

为什么呢？你想一想它的计算公式就会明白的。

我在EXCEL中计算了更多的收益率变动数值，制作了这样一张图(图7)

图7:用久期估算的债券价格变化率

从图中可以直观地看到，当到期收益率发生变动时，用久期估算的债券价格变化率呈直线状，就是图中的红线。但是，用债券公式计算的价格变化率是一条曲线。二者仅仅在到期收益率的变动幅度非常微小时才比较接近。

所以，当到期收益率只是小幅变动时，久期估算的近似值比较接近理论值。如果到期收益率变动幅度较大，久期估算的近似值就会出现较大的偏差。

从这张图中，还能看出来偏差的方向来。图的右下部分，红色直线在蓝色曲线的下方，这表明久期估算的跌幅，要大于理论值；再看图的左上部分，也是红色直线在蓝色曲线的下方，这表明久期估算的涨幅，要小于理论值。

二、债券凸度的含义与计算

当久期估算有偏差时，可以找凸度来帮忙修正一下。

凸度是什么呢？

我们知道，债券价格与到期收益率之间的关系不是线性的，而是一条曲线，这条曲线凸向坐标原点，这种现象称为债券的凸性(见图8)。而凸度，就是反映这条曲线的弯曲程度即凸性大小的重要指标。

图8:债券价格与到期收益率的关系

凸度的计算公式如下：

回忆一下久期的计算公式

计算凸度时，除了有t乘以W，还要乘以(1+t)，然后再除以(1+r)的平方。

三、久期和凸度共同估算债券价格变动

久期可看作是债券价格对到期收益率小幅波动敏感性的一阶估计，凸度则是对债券价格利率敏感性的二阶估计，利用它可以对久期估算的偏差进行修正。

单独用久期对债券价格变化率的近似计算公式：

同时用久期和凸度对债券价格变化率的近似计算公式：

下面，我们还是接着刚才的例题，来验证一下凸度对久期估算偏差的修正效果。

首先，计算凸度的数值：C=234.92

然后，利用久期和凸度的估算公式，分别计算到期收益率变动10个基点和100个基点情形下的债券价格变化率。具体计算结果见下表(表2)

表2:用久期和凸度共同估算债券价格的变化率

从表格中可以看到，当到期收益率变动10个基点时，久期加凸度共同估算的数字与理论值完全一致；变动幅度扩大到100个基点时，估算值与理论值的差异也较小。

更详细的情况，请你观察下面这张图(图9)。

图9:用久期和凸度共同估算的债券价格变化率

图中的绿色曲线，就是久期和凸度的共同估算值，它与表示理论值的蓝色曲线非常接近，尤其是在中间部分，此时到期收益率的变动幅度不大。随着到期收益率变动幅度的加大，两条曲线渐渐分离，此时估算值与理论值的差异逐渐加大，说明凸度对久期估算偏差的修正效果也是有限的。

最后，我们来小结一下：

1.利用久期可以量化分析利率变动对债券价格的影响程度。

2.计算公式表明，债券价格变动的百分比，近似等于修正久期与到期收益率变化量的乘积。

3.当到期收益率只是小幅变动时，久期估算的价格变动百分比，与用债券价格公式计算的理论值比较接近。

4.凸度反映了债券价格-收益率曲线的弯曲程度。在久期估算公式中加入凸度，可以对久期估算的偏差进行修正。但在到期收益率大幅变动时，修正效果也有限。

三。债券利率波动风险免疫

我们知道，久期可以量化分析利率变动对债券价格的影响程度。它还能做什么呢？

让我们先从一道例题讲起。

例：某投资者在3年后需支付6万元债务。他想在两种债券中选择一种，购买后一直持有至债务到期，用投资收入来偿债。已知债券A、B的期限分别为3年、4年，面值都是100元，票面利率均为25.5%，每年付息一次。当前的市场利率是20%，购买债券之后可能会上下波动。请问：应购买债券A还是债券B？

分析：首先，我们要计算一下3年后的6万元债务的现值是多少。

这是该投资者当前购买债券的投资金额。

然后，假设购买债券A.计算债券A的价格、购买数量、持有三年可获得的投资收入。利用债券价格公式，可以很容易计算出债券A的售价为111.59元。用投资金额除以债券价格，得到购买张数是311.17.这里假定购买张数可以取小数。

债券A的当前售价

接下来，计算持有三年债券A可获得的投资收入。

投资收入从何而来呢？来自两部分，一部分是利息再投资收益，另一部分是债券到期按面值归还的本金。其中，利息再投资的收益大小，取决于购买债券之后的市场利率。

对市场利率，我们分三种情况考虑：不变、变大和变小。

如果购买债券A之后，市场利率一直维持20%不变(见图11)。第1年末收到的25.5元利息，可以进行2年期限的再投资，到第3年末变成36.72元。同样的，第2年的25.5元利息，也可以进行1年的再投资。所以，每张债券A在第三年末的投资收入有192.82元，乘以债券数量后，可获得的总投资收入是6万元，正好能够偿还债务。

图11:市场利率维持不变时债券A的投资收入

如果购买债券A之后，市场利率就立即上升到26%，然后保持不变(见图12)。

可获得的利息再投资的收益增加了，最终的投资收入高达6.16万元，偿还债务之后还有结余，该投资者应该很开心。

图12:市场利率上升时债券A的投资收入

如果市场利率下跌了呢？比如，跌到14%，然后保持不变(见图13)。你看，可获得的利息再投资的收益减少了，最终的投资收入只有5.8万元，无法偿还债务。

图13:市场利率下降时债券A的投资收入

所以，如果购买债券A，遇到利率下降时，投资收入不能够偿还债务。

下面来看看购买债券B会是什么情况。还是投资三连问：每张债券的价格是多少钱？一共能购买多少张？持有这些债券获得的投资收入能够偿债吗？

债券B的售价是114.24元，可购买张数是303.95张。

债券B的当前售价：

债券B的投资收入来自两部分：一部分是利息再投资收益，另一部分是债券B在第3年末的售价(因为债券B是4年期限，在第3年末债务到期时，不会有按面值还本，这时应当把债券B出售)。还是按利率不变、变大、变小三种情况来计算投资收入。

如果购买债券B之后，市场利率一直维持20%不变，三年后获得的投资收入是6万元，正好能够偿还债务(见图14)。

图14:市场利率维持不变时债券B的投资收入

如果购买债券B之后，市场利率就立即上升到26%，然后保持不变(见图15)。你看，利息再投资的收益从92.82元增加到了98.11元，但是，它在第3年末的售价却下降了，从104.58元降到99.60元，一增一减，大致可以相互抵消，所以最终总的投资收入基本保持在6万元不变。

图15:市场利率上升时债券B的投资收入

如果购买债券B之后，市场利率就立即下跌到14%，然后保持不变(见图16)。你看，利息再投资的收益减少了，但是它在第3年末的售价却上升了，也是一增一减，大致相互抵消，最终总的投资收入也是基本保持在6万元不变。

图16:市场利率下降时债券B的投资收入

所以，计算结果表明，如果购买债券B，无论利率如何上下波动，最终的投资收入都能偿还债务。也就是说，买了债券B，你就再也不用担心利率波动了。这种情况称之

为利率波动风险免疫。

那么问题来了，债券B有何独特之处？

你可能会说：债券B的期限为4年，大于债务的3年期限。好，那我把债券B的期限随意更改一下，比如改为5年、10年(见图17、图18)。你看，在市场利率上升到26%时，最终的投资收入都低于6万元，无法偿还债务。

图 17:假设债券 B 的期限为 5 年时的投资收入

图 18:假设债券 B 的期限为 10 年时的投资收入

可见， 不是所有的期限大于 3 年的债券都能实现利率风险免疫。

债券 B 究竟有何奥秘呢？请你计算一下它的久期：

债券 B 的久期等于 3 年， 不多不少， 恰好与债务的期限相等。这就是购买债券 B 能够实现利率风险免疫的秘密。

如果投资的债券可能不是一只， 而是好几只债券构成的债券组合。这时， 就需要让债券组合的久期等于债务的期限。债券组合的久期， 是各只债券久期的加权平均， 权数是投资在各只债券上的资金比例。比如， 包括两只债券的债券组合久期的计算公式：

好， 最后来小结一下：

1.利率波动风险免疫是指债券投资收入可以保持稳定， 不受利率上下波动的影响。

2.免疫的内在原理是， 利率变动导致的再投资收益风险和价格风险可以相互抵消。当利率上升时， 再投资收益上涨， 债券价格下跌；当利率下降时， 再投资收益下跌， 债券价格上涨。

3.实现免疫的两个条件：第一， 当前投资额等于未来债务(投资目标金额) 的现值；第二， 选择久期等于偿债期限(投资期限) 的债券或债券组合。